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preuves:fonctions_lineaires

Réécriture de l'équation $AX + XB = C$

En multipliant à gauche par $A$ on obtient

\begin{equation} A^2X + AXB = AC \label{eq:s1} \end{equation}

En multipliant à droite par $\overline{B}$ on obtient

$$AX\overline{B} + XB\overline{B} = C\overline{B}$$

comme $B\overline{B} = \|B\|^2$ est un scalaire, il commute avec $X$. On obtient

\begin{equation} AX\overline{B} + \|B\|^2X = C\overline{B} \label{eq:s2} \end{equation}

On additionne \eqref{eq:s1} et \eqref{eq:s2}

$$A^2X + AXB + AX\overline{B} + \|B\|^2X= AC + C\overline{B}$$

comme $B + \overline{B} = 2\mathbb{S}(B)$, qui est un scalaire

$$A^2X + 2\mathbb{S}(B)A + \|B\|^2X= AC + C\overline{B}$$

on utilise $A^2 = 2\mathbb{S}(A)A - \|A\|^2$

$$2\mathbb{S}(A)AX - \|A\|^2X + 2\mathbb{S}(B)A + \|B\|^2X= AC + C\overline{B}$$

et donc

$$(2\mathbb{S}(A+B)A - \|A\|^2 + \|B\|^2) X= AC + C\overline{B}$$

Étude par cas

Définissons $F = (2\mathbb{S}(A+B)A - \|A\|^2 + \|B\|^2)$.

1. Si $F \neq 0$, $F$ est inversible, on aura alors la solution

$$X = \left( AC + C\overline{B} \right) F^{-1}.$$

2. Si $F = 0$ et $AC + C\overline{B} \neq 0$ il n'y a pas de solution.

3. Si $F = 0$ et $AC + C\overline{B} = 0$ il peut y avoir une infinité de solution.

Conditions pour avoir $F=0$

$$\mathbb{S}(F) = 2\mathbb{S}(A+B)\mathbb{S}(A) - \|A\|^2 + \|B\|^2) = 0$$ et $$\mathbb{V}(F) = 2\mathbb{S}(A+B)\mathbb{V}(A) = 0.$$

Pour que cette dernière équations soit satisfait on peut avoir soit $\mathbb{S}(A)=-\mathbb{S}(B)$, soit $\mathbb{V}(A) = 0$.

Si $\mathbb{S}(A)=-\mathbb{S}(B)$, la première condition se réduit à $\|A\|^2 = \|B\|^2$, et ensuite à $\|\mathbb{V}(A)\|^2 = \|\mathbb{V}(B)\|^2$.

Si $\mathbb{V}(A) = 0$ alors $\|A\|^2 = \mathbb{S}(A)^2$ et la première condition devient

$$ 2\mathbb{S}(A+B)\mathbb{S}(A) - \mathbb{S}(A)^2 + \|B\|^2 = 0$$ en simplifiant $$ \mathbb{S}(A)^2 +2\mathbb{S}(B)\mathbb{S}(A) - \mathbb{S}(A)^2 + \|B\|^2 = 0$$.

En terme de coefficients de $A$ et $B$ on aura :

$$a_0^2 + 2b_0a_0 + b_0^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 0$$ donc $$(a_0+b_0)^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 0$$ étant donné que les coefficients sont réels, on obtient $$a_0 = -b_0, b_1 = b_2 = b_3 = 0 $$ Et donc $$\mathbb{S}(A) = -\mathbb{S}(B)\ \mathrm{et} \ \mathbb{V}(B) = 0.$$

On voit qu'il s'agit d'un cas particulier du cas précédent

Donc, $F=0$ implique

$$\mathbb{S}(A)=-\mathbb{S}(B) \ \mathrm{et}\ \|\mathbb{V}(A)\|^2 = \|\mathbb{V}(B)\|^2$$

preuves/fonctions_lineaires.txt · Last modified: 2013/07/15 10:40 by gilles