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h:formules_de_base

Formules de base

Multiplication

$$ p q = \mathbb{S}(p)\mathbb{S}(q)- \mathbb{V}(p) \cdot \mathbb{V}(q) + \mathbb{S}(p) \mathbb{V}(q) + \mathbb{S}(q) \mathbb{V}(p) + \mathbb{V}(p)\wedge \mathbb{V}(q) $$.

$$ \mathbb{S}(p q) = \mathbb{S}(p)\mathbb{S}(q)- \mathbb{V}(p) \cdot \mathbb{V}(q) $$

$$ \mathbb{V}(p q) = \mathbb{S}(p) \mathbb{V}(q) + \mathbb{S}(q) \mathbb{V}(p) + \mathbb{V}(p)\wedge \mathbb{V}(q) $$

Conjugaison

double conjugaison

$$ \overline{\overline{q}} = q $$

addition des conjugués

$$\overline{p + q} = \overline{p} + \overline{q}$$

multiplication des conjugués

$$\overline{p q} = \overline{q} \overline{p}$$

autre calcul du conjugué

$$\overline{q} = - \frac 1 2 \sum_{i=0}^3{e_i q e_i}$$

Parties scalaires et vectorielles

extraction de la partie scalaire $ \mathbb{S}(q) = \frac 1 2 (q+\overline{q})$ rem.
$\mathbb{S}(q) = \frac 1 2 \left( q - \frac 1 2 \sum_{i=0}^3{e_i q e_i} \right) $ rem.
extraction de la partie vectorielle $ \mathbb{V}(q) = \frac 1 2 (q-\overline{q}) $ rem.

$$\mathbb{S}(q) = \frac 1 2 \left( q - \frac 1 2 \sum_{i=0}^3{e_i q e_i} \right) $$

Carrés

$$q^2 = 2\mathbb{S}(q)q-\left|q\right|^2$$

cas particulier

Si $q$ est purement vectoriel, $q^2 = - \left|q\right|^2$.

Inverses et conjugés

Si un quaternion $q = a + b e_1 + c e_2 + d e_3 = a + \vec v$ n'est pas nul, il possède un unique inverse

$$ q^{-1} = \frac{\overline{q}}{q \overline{q}} = \frac{\overline{q}}{\left|q\right|^2} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ \overline{q}$$.

$$ \overline{q^{-1}} = \frac{q}{\left|q\right|^2}$$

$$ \overline{q} ^{-1} = \frac{q}{\left|q\right|^2}$$

$$ \left( p q \right) ^{-1} = q^{-1} p^{-1} $$


Projet $\mathbb{H}$ / Formules

h/formules_de_base.txt · Last modified: 2014/09/28 23:40 by gilles