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h:forme_polaire

Forme polaire

Tout quaternion peut s'écrire sous la forme

$$q = \rho\cos(\theta) + \rho\sin(\theta)\vec{u}$$ ou encore $$q = \rho e^{\theta \vec u}$$

avec $\rho$ un réel positif et $\vec u$ un quaternion unitaire purement vectoriel ($\mathbb{S}(\vec u)=0$).

Les coefficients s'obtiennent par les formules

$$\rho = \left|q\right|$$ $$\vec u = \frac {\mathbb{V}(q)} {\left| \mathbb{V}(q) \right|}$$ $$\theta = \cos^{-1} \left(\frac {\mathbb{S}(q)} {\left|q\right|} \right)$$

Remarque. Comme tous les quaternions unitaires purement vectoriels, $\vec u$ est une racine carrée de -1, il joue le même rôle que $i$ pour les complexes

Remarque. Si $\rho=1$, le quaternion $$r = \cos(\theta) + \sin(\theta)\vec{u}$$ représente une rotation dans $\mathbb{R}^3$ d'angle $\frac{\theta}{2}$ et d'axe $\vec{u}$.

Le résultat de la rotation d'un point $x = (x_1, x_2, x_3)$ de $\mathbb{R}^3$ s'obtient comme $$x' = \mathbb{V}(r (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) \overline{r})$$


Projet $\mathbb{H}$ —- Formules

h/forme_polaire.txt · Last modified: 2014/11/23 12:36 by gilles