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h:equations_lineaires

Équations linéaires

Il y a plusieurs formes d'équations du premier degré à une inconnue.

(1)

$$aq + b = c \ \ \ (a \neq 0)$$

possède la solution

$$q = a^{-1}(c-b).$$

(2)

$$qb + b = c \ \ \ (a \neq 0)$$

possède la solution

$$q = (c-b)a^{-1}$$

Forme 3

$$aq + qb = c$$

On peut montrer que toute solution de $aq + qb = c$ est aussi solution de

$$Fq=M\ \textrm{et de}\ qG=N$$

avec $$F = 2\mathbb{S}(a+b)a+\left|b\right|^2-\left|a\right|^2 $$ $$M = a c + c \overline{b}$$ $$G = 2\mathbb{S}(a+b)b+\left|a\right|^2-\left|b\right|^2 $$ $$N = \overline{a}c + cb $$

Si $F$ et $G$ sont non nuls il y a au plus une solution. Pour vérifier s'il y a une solution on introduit $q=F^{-1}M$ dans l'expression $aq+qb-c$ et on regarde si le résultat donne bien 0. Dans le cas contraire il n'y a pas de solution.

Dans le cas particulier où $2\mathbb{S}(a+b)a+\left|b\right|^2-\left|a\right|^2 = 0$ il y a deux possibilités :

  1. $a c + c \overline{b} \neq 0$ et il n'y a pas de solution
  2. $a c + c \overline{b} = 0$ (ce qui arrive quand $c=0$) et il y a une infinité de solutions

On peut montrer que $F = G = 0$ si et seulement si

$$\mathbb{S}(a)=-\mathbb{S}(b)$$ et $$\left|\mathbb{V}(a)\right|^2=\left|\mathbb{V}(b)\right|^2.$$

(voir la preuve)

Forme générale

On peut montrer que toute fonction linéaire $f$ d'un quaternion $q$ peut s'écrire sous la forme

$$f(q) = f_0 q + f_1q e_1 + f_2 q e_2 + f_3 q e_3 $$

où les $f_i$ sont des quaternions.

En effet, une terme général de la forme $aqb$ avec $b=\sum_{i=1}^{3}{b_i e_i}$ peut s'écrie comme $aq\sum_{i=1}^{3}{b_i e_i}$ = $a\sum_{i=0}^{3}{b_i q e_i}$ = $\sum_{i=0}^{3}{a b_i q e_i}$


Projet $\mathbb{H}$

h/equations_lineaires.txt · Last modified: 2014/09/29 15:25 by gilles